题目描述：

设 是一个群，这里 +6 是模 6 加法， Z6={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ，试求出 的所有子群及其相应左陪集。

解答：

由于循环群的子群是循环群,并且群的阶的每一个正因子存在唯一的子群。

即子群的阶是6的正因子，6的正因子只有1,2,3,6,因此Z6共有4个子群,

它们分别是一阶子群，2阶子群，3阶子群，6阶子群 =Z6（本身）。

子群首先有两个平凡子群，即{[0]}，{Z6}。一个为幺元，另一个为群本身。

然后考虑 [2] 生成的子群: {[0],[2],[4]} 然后考虑 [3] 生成的子群: {[0],[3]}

所以子群<{[0]},+6>,<{[0],[3]}，+6>,<{[0],[2],[4],+6}>，<{Z6,},+6>

下面求出左陪集： 分别用{Z6}中的每一个元素 加上 下面的集合，即可得：

{[0]}的左陪集：{[0]},{[1]},{[2]},{[3]},{[4]},{[5]}. {[0],[3]}的左陪集：{[0],[3]},{[1],[4]},{[2],[5]}. {[0],[2],[4]}的左陪集：{[0],[2],[4]},{[1],[3],[5]}. {[Z6]}的左陪集：{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}.(Z6本身)

那么，为什么<{[0],[1],[5]}>不是子群？

根据子群的定义，条件之一：任意两元素的运算结果仍在子群中，即封闭性。 那么可以取两个元素[1]，[1],模加6结果（1+1）%6=2，元素[2]并不在<{[0],[1],[5]}>中，同理验证元素[5]。故其不是子群。

下面是一些概念：

循环群：若—个群G的每—个元都是G的某—个固